top of page
ПодобныеТреугольники
На нашем сайте вы найдёте
Оглавление
История
История
Треугольник по праву считается простейшей из фигур: любая плоская, то есть простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет треугольником. Так же называют и заключенную внутри образовавшегося контура часть плоскости. Таким образом, любой плоскостной многоугольник может быть разбит на треугольники.
Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни, поэтому и в школьной геометрии этой теме уделяется, пожалуй, самое пристальное внимание. Из всего многообразия тем, связанных с треугольником, меня больше всего привлекла тема: «Подобие треугольников». Цель моего реферата – обобщить весь теоретический материал по данной теме и показать его применение при доказательстве теорем и решении различных задач.
Искусство изображать предметы на плоскости с древних времён привлекало к себе внимание человека. Попытки таких изображений появились значительно раньше, чем возникла письменность. Ещё в глубокой древности люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта различные орнаменты, растения, животных. При этом человек стремился к тому, чтобы изображение правильно отражало естественную форму предмета. Основное требование к изображению сводилось к соответствию точек натурального объекта с точками изображения на плоскости или какой-либо другой поверхности.

Идея отношения и пропорции зародилась в глубокой древности. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса и знаменитых пирамид в Гизе (III тысячелетие до н. э. ), вавилонские зиккураты (ступенчатые культовые башни), персидские дворцы, индийские и другие памятники древности. Многие обстоятельства, в том числе особенности архитектуры, требования удобства, эстетики, техники и экономичности при возведении зданий и сооружений, вызвали возникновение и развитие понятий отношения и пропорциональности отрезков, площадей и других величин. Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамзеса II имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.


Пропорциональность отрезков, образующихся на прямых, пересечённых несколькими параллельными прямыми, была известна ещё вавилонским учёным, хотя некоторые приписывают это открытие Фалесу Милецкому. До наших дней сохранилась клинописная табличка, в которой речь идёт о построении пропорциональных отрезков путём проведения в прямоугольном треугольнике параллелей к одному из катетов. В "Московском" папирусе при рассмотрении отношения большего катета к меньшему в одной из задач на прямоугольный треугольник применяется специальный знак для понятия "отношения".
Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорции было создано в Древней Греции в V - IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге "Начал" Евклида, начинающейся следующим определением: "Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны"
В "Началах" Евклида учения об отношениях излагаются дважды. В VII книге содержится арифметическая теория. Она относится только к соизмеримым величинам и целым числам. Евклид применяет её для исследования свойств целых чисел. Эта теория создана на основе практики действия с дробями. В V книге излагается общая теория отношений и пропорций, разработанная Евдоксом. Она лежит в основе учения о подобии фигур, изложенная в VI книге "Начал".
Символ, обозначающий подобие фигур, есть не что иное, как повёрнутая латинская буква S - первая буква в слове similis, что в переводе означает подобие.
Теория
1 треугольники подобны, если они различаются только размерами, но не пропорциями (формой, соотношением сторон).
2Пусть треугольник подобен треугольнику с коэффициентом подобия . Тогда


откуда

3

4.Сформулируйте признаки подобия треугольников.
1-й признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2-й признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то треугольники подобны.
3-й признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.
5 Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон.
6 Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
7 Средняя линия трапеции-это отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции.
9 Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
10 Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
11 Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, то есть . Например, отрезки AB и CD, длины которых равны 2 и 1 см, пропорциональны отрезкам и , длины которых равны 3 см и 1.5 см.
12
1.Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу.
2.Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу
13 В прямоугольном треугольнике есть катеты прилежащие к острому углу и противолежащие относительно этого острого угла. Синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему. Или отношение синуса к косинусу.
14
Теория
8 Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Практика
Практика
1. Проектор полностью освещает экран A высотой 60 см,
расположенный на расстоянии 110 см от проектора. Найдите, на
каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить
экран B высотой 210 см, чтобы он был полностью освещён, если
настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в
сантиметрах.
наведи курсор
что бы увидеть решение
Решение : Х-расстояние от проектора до 2 экрана (высотой 210 см) 60/110=210/х 60х=210*110 х=385 см ответ 385 см
2. Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине
между малой и большой опорами (см. рис.). Высота средней опоры
2,75 м, высота большой опоры 3,1 м. Найдите высоту малой опоры.
Ответ дайте в метрах.
наведи курсор
что бы увидеть решение
Решение : 2 * 2,75 – 3,1 = 5,5 – 3,1 = 2,4 м
3. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет
длину 1 м, а длинное плечо – 3 м. На сколько метров опустится конец
длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?
наведи курсор
что бы увидеть решение
Решение : x = bc / a x = 1 * 3 / 0,5 = 6
Над сайтом работали:
Дизайн Ложков Иван
Теоретическая часть Полыковский Михаил
Практика(задачи) Николаев Никита
Исторические факты и информация Рубеко Сергей
bottom of page